| R E V I S I O N E D E L L A D I S C U S S I O N E |
| paola1985 |
Posted - 02 giugno 2010 : 20:30:15
allora basandomi sulla condizione dell'ambo di ULAM dmani si possono giocare:
MILANO 2-11-29 per ambo e 47 sulla ruota NAZIONALE
C I A O
per 3 colpi!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! |
| 4 U L T I M E R E P L I C H E (Newest First) |
| marylu |
Posted - 02 giugno 2010 : 23:21:39
Si, Remo
---------------------------
Ho trovato questo su internet
Nel lavoro dello scienziato il ragionamento probabilistico si è rivelato uno strumento essenziale. La filosofia che ne è alla base può rivestire un importante ruolo formativo. Il metodo "Monte Carlo": dal lancio di una monetina al calcolo di p.
In questi ultimi anni l'influenza della probabilità e della statistica sulla scienza e la tecnologia si è rivelata addirittura miracolosa, ed unica a dir poco è stata la sua importanza come strumento per affrontare razionalmente una vasta gamma di problemi: tutto ciò è ormai ben noto e universalmente riconosciuto, sebbene contro il caso anche gli dei lottino invano!
Al suo livello più elementare, il calcolo delle probabilità cerca di misurare la plausibilità (ovvero il verificarsi) di eventi che possono accadere solo in un numero finito di modi diversi. Un esempio tipico sarebbe quello di determinare la probabilità che in una mano di poker si abbia un poker d'assi, supponendo che tutte le diverse distribuzioni di carte siano "egualmente possibili", è naturale definire tale probabilità come il rapporto: numero delle combinazioni di cinque carte con 4 assi diviso per il numero di tutte le combinazioni di cinque carte. Questo è un caso particolare della definizione di probabilità data dal padre del calcolo delle probabilità, Pierre Simon, marchese di Laplace (1749-1827) nel suo trattato Théorie Analytique des Probabilités del 1812.
Laplace definì la probabilità di un evento come rapporto tra il numero dei casi individuali nei quali l'evento si verifica (casi favorevoli) ed il numero dei casi individuali possibili, purché questi casi individuali possano esser riguardati tutti come egualmente possibili. Con questa definizione il calcolo elementare delle probabilità si riduce al calcolo combinatorio, ramo importante (e spesso molto difficile) della matematica, rivolto al compito di "contare senza fare conti".
Esempi tipici di problemi di calcolo combinatorio sono: in quante maniere diverse possono mettersi a sedere dieci coppie attorno ad un tavolo, evitando che una moglie prenda posto accanto al proprio marito? In quanti modi il numero 7 si può scrivere come somma di più addendi, per esempio 7 = 4 + 2 + 1; 7 = 3 + 1 + 3 ecc.? In quante maniere diverse si possono mettere dieci lettere in dieci buste già indirizzate, senza che alcuna lettera vada nella busta che le compete? L'ultima domanda può esser formulata anche in termini probabilistici: se una segretaria mette a caso dieci lettere in dieci buste già indirizzate, che probabilità c'è che le sbagli proprio tutte? Il lettore sarà stupito apprendendo che tale probabilità è piuttosto alta, essendo vicinissima ad 1/2,718... (2,718... sono le prime cifre di un numero famoso, indicato universalmente con e, il numero di Eulero).
Il calcolo combinatorio o analisi combinatoria o teoria combinatoria, come pure si comincia a dire, è nello stesso tempo la più antica e la più arretrata delle varie parti della matematica. Le ragioni di tale apparente paradosso sono difficili da spiegare in questa sede.
Il campo vasto e mal definito della matematica applicata va rapidamente concentrando il suo interesse sui cosiddetti "fenomerii discreti" (sia in matematica che nelle scienze naturali). Il termine "combinatorio", introdotto dal filosofo e scienziato tedesco G.W. Leibniz in un suo classico trattato, è ormai d'uso generale sin dal secolo decimosettimo. Problemi di tipo combinatorio s'incontrano in quantità sempre crescente in ogni ramo della scienza, anche in quelli dove raramente si ricorre alla matematica. Si fa strada l'idea che le scienze della vita, raggiunto lo stadio in cui diventa indispensabile un apparato matematico, dovranno ricorrere soprattutto alla teoria combinatoria: questo è già evidente in quelle branche della biologia, come la genetica e la biologia molecolare, in cui la ricchezza dei dati sperimentali permette la graduale elaborazione di teorie solidamente fondate.
Profondi problemi della fisica stessa non potranno esser risolti finché non si saranno elaborate teorie completamente nuove, di natura combinatoria, per comprendere la struttura discontinua del mondo molecolare e subatomico.
A tutti questi incentivi dobbiamo ancora aggiungere il calcolo automatico veloce e quindi l'informatica, il quale esige l'impiego di teorie combinatorie come guida indispensabile all'azione concreta. L'interesse per i problemi combinatori è stato poi gradatamente stimolato anche dalla possibilità di saggiare per mezzo di calcolatori automatici congetture un tempo del tutto inaccessibili, ad esempio col metodo Monte Carlo, di cui parleremo fra poco.
Nell'uomo civile i primi barlumi d'intelligenza matematica sono stati di carattere combinatorio: anche le civiltà più primitive, quando hanno permesso alla loro fantasia di galoppare a briglia sciolta sino al mondo dei numeri e delle figure geometriche, hanno invariabilmente scoperto i coefficienti binomiali, i quadrati magici e una qualche rudimentale classificazione dei poliedri dello spazio.
Scriveva Gian Carlo Rota, circa 15 anni fa nell'articolo Analisi combinatoria, parlando di esplosione imminente come nella Coscienza di Zeno: "Sembra ormai chiaro che l'ulteriore progresso della teoria combinatoria stia diventando sempre più indispensabile per il progresso in generale, a causa delle concordi esigenze sia della matematica che della fisica, come pure di quelle scienze della vita che aspirano a divenire scienze esatte. Per questa ragione, ed altre che abbiamo esposto in parte, con ogni probabilità assisteremo nei prossimi anni ad una esplosione di studi combinatori, e la matematica del discreto verrà ad avere una posizione almeno pari a quella della matematica applicata del continuo, sia nei corsi universitari che nella ricerca scientifica". E cosi è stato!
Georges de La Tour: Il baro con l'asso di quadri.
Il calcolo delle probabilità, nato dai giochi
d'azzardo, al zhar in arabo vuol dire dado,
spiega tanti fenomeni della natura come in
termodinamica (Maxwell, Boltzmann),
fisica atomica (Einstein, Wiener), genetica
(Mendel), demografia (Galton, Watson),
trasmissione dell 'informazione (Erlang,
Shannon) per fare solo alcuni nomi.
Il metodo Monte Carlo
Quello che si dirà tra poco non è affatto rigoroso e i colleghi avranno certamente da ridire: il punto di vista intuitivo però è corretto! L'esperimento si può eseguire in una qualunque scuola media dove sono conosciuti il piano cartesiano, il teorema di Pitagora e la tombola. Ecco il nostro problema: vogliamo calcolare approssimativamente l'area di una regione piana che non sappiamo calcolare esattamente. Ad esempio, l'area del cerchio. Sappiamo infatti che l'area del cerchio di raggio unitario è uguale a p, un numero che approssimato alle prime cinque cifre decimali vale 3,14159. Questo valore approssimato si può determinare con procedimenti geometrici utilizzando poligoni inscritti al cerchio (un'idea del tempo di Archimede) oppure con metodi analitici (che portarono intorno al 1650 alla formula di Wallis). Il nostro interesse è invece quello di far vedere come il metodo Monte Carlo permette di trovare p con tecniche probabilistiche. Pertanto si consideri un quadrato di lato unitario.
Scegliamo a caso un punto P nel quadrato: con qual probabilità cadrà nel settore circolare tratteggiato? Poiché l'area del settore è p/4 e quella del quadrato vale uno, potremmo dire che la probabilità è il loro rapporto cioè p/4.
Supponiamo per un momento di ignorare il vero valore di p e cerchiamo di trovare una sua approssimazione realizzando il seguente esperimento. Si estragga a caso un gran numero n di punti dal quadrato. Di questi siano s quelli usci ti dal settore circolare.
Per un classico teorema della probabilità, che va sotto il nome di legge dei grandi numeri si può affermare che il rapporto s/n, ottenuto statisticamente, differirà di poco dalla probabilità teorica p/4, quando n è molto grande (per esempio maggiore di 50.000). In altri termini si può dire che vale l'approssimazione p/4 circa s/n cioè p circa 4s/n. Ma come si può scegliere un punto a caso P nel quadrato? Se X ed Y sono le coordinate di P, il problema si riduce a scegliere due numeri, X ed Y, nell'intervallo tra zero ed uno. Ma allora come si sceglie a caso un numero tra zero ed uno? Sappiamo che un numero siffatto è della forma "zero virgola le cifre decimali", quindi tutto sta a scegliere le cifre decimali! Per farlo si può utilizzare la tombola o un mazzo di carte. Se abbiamo la tombola estraiamo a caso un numero: la cifra delle unità del numero estratto è la prima cifra decimale di X. Ad esempio, se è uscito il numero 57 allora la prima cifra di X è 7. Rimesso il numero estratto nel sacchetto della tombola, se ne tira fuori un altro, sempre a caso, procedendo come nella prima estrazione, e così via per le estrazioni successive.. Cosi ad esempio, se i primi cinque numeri estratti (rimettendo ogni volta dentro il sacchetto quello estratto) sono stati 57 48, 35, 4, 48, ecc., allora il numero X che stiamo estraendo è 0,78548... Analogamente si procede per estrarre l'ordinata Y del punto P. Per semplicità ci si può fermare a cinque cifre decimali di X ed Y. Quando sarà P nel settore circolare? Ovviamente quando il segmento OP è minore del l'unità, ovvero, per il teorema di Pitagora, quando X2 + Y2 è minore di 1.
Così sappiamo come estrarre a caso gli n punti nel quadrato ed inoltre si è in grado di decidere quando uno di loro è caduto nel settore circolare. Se invece della notazione in base dieci usassimo quella in base due, si potrebbero estrarre i punti semplicemente lanciando per aria una moneta, codificando testa = 1 e croce = 0. Un'uscita tipo TTCCTCC... cioè 1100100 darebbe per ascissa X il valore 2-1 + 2-2 + 2-5 + ..., cioè il numero che si ottiene scrivendo la somma dei reciproci delle potenze di due solo quando esce testa. Così nella somma c'è 2-5 perché è uscita testa al quinto lancio, ma non c'è 2-6 perché al sesto lancio è uscita croce.
Naturalmente l'esempio che abbiamo trattato per illustrare il metodo Monte Carlo non è il più interessante perché di p sappiamo calcolare con certezza esattamente quante cifre vogliamo. Tuttavia, in altri casi più difficili, in cui all'interno del quadrato non si ha un settore circolare, bensì una regione con contorno più complicato e per la quale non esiste alcuna formula per determinarne l'area (ad esempio non si sa calcolare l'integrale), il metodo Monte Carlo fornisce una tecnica potente per calcolare aree (volumi quando si considerano figure solide nello spazio). Inoltre non ricorreremo mai alla tombola per eseguire estrazioni, ma al computer, il quale è in grado, in pochi minuti, di estrarre a caso migliaia di punti e di fornire la stima di quale percentuale di questi è caduta dentro la regione considerata. Questa percentuale sarà uguale, più o meno, all'area della regione con un errore che tende a zero all'aumentare del numero n di punti estratti. Riportiamo un breve programma in Basic per simulare l'esperimento del settore circolare con un computer.
10 IF RND(X)^2+RND(Y)^2 20 N=N+1
30 PRINT 4*S/N, S; N: GOTO 10
Questo modo di pensare fu introdotto praticamente in matematica nel 1949 quando N. Metropolis e S. Ulam, matematici dei laboratori atomici di Los Alamos, pubblicarono nel Jour. Amer. Stat. Ass. l'articolo The Monte Carlo method. La base teorica, cioè probabilistica, di questa semplice tecnica di simulazione, era ben nota ai matematici, tuttavia fu proprio l'esistenza di macchine calcolatrici veloci a permetterne la sua applicazione pratica. Così la probabilità, con l'aiuto dei calcolatori elettronici, si prendeva la rivincita sulla matematica classica, fornendo un modo di pensare tanto interessante dal punto di vista filosofico, quanto utile nelle applicazioni.
Possiamo affermare inoltre che né Archimede né i grandi matematici greci o degli ultimi due secoli si sarebbero mai sognati una simile splendida idea.
Per questo non bisogna credere che il pensiero probabilistico abbia natura del tutto speciale, contrapposta al pensiero deterministico, quasi fossero due impostazioni filosofiche antitetiche.
Dovremmo spendere qualche parola su come insegnare la probabilità, visti i nuovi programmi della scuola dell'obbligo, ma per questo ricordiamo alcuni brani di Pintacuda nell'introduzione al volumetto ed al quale rimandiamo per un discorso più esauriente: "deve essere guidata nel ragazzo la consapevolezza che, dal momento che certi esiti sono più probabili, più facili a verificarsi di altri, è possibile fare delle previsioni, delle scommesse, controllare razionalmente la previsione dell'incerto. (...) Si tratta di far capire che la statistica e il calcolo delle probabilità sono parte della matematica e contengono tutto il rigore delle altre parti della matematica: anche se si riferiscono a fenomeni incerti, le conclusioni in sede di calcolo e di analisi di dati statistici hanno lo stesso tipo di esattezza di un teorema di geometria. La peculiarità è nel rapporto della teoria con la realtà; ma il problema si presenta, sia pure in forma meno vistosa, pure nella geometria: le affermazioni sul cerchio, sebbene rigorose e precise, non ci diranno mai "quella cosa è un cerchio", non si pronunceranno mai sulla conformità del reale ai nostri schemi, sta a noi saper esaminare la realtà costruire all'uopo modelli matematici e capire se sono soddisfacenti per quella situazione oppure se vanno sostituiti con altri più raffinati".
Minibibliografia
AA.VV., Le scienze matematiche, Zanichelli, Bologna 1973.
K. Baclawski-M. Cerasoli-G.C. Rota, Introduzione alla probabilità, Pitagora, Bologna 1984.
A.M. Cerasoli-M. Cerasoli, Calcolo delle probabilità, statistica e ricerca operativa, vol. I, Zanichelli, Bologna 1986.
G.C. Rota-J.P. Kung, Probabilità, in Enciclopedia del Novecento, Treccani, Roma 1985, vol. 5, pp. 552-571.
N.Pintacuda, Insegnare la probabilità, Muzzio, Padova 1981.
M. Glaymann-T. Varga, La probabilità nella scuola dell'obbligo, Armando, Roma 1979.
P.Dupont, Storia e didattica della probabilità per docenti della scuola media, Sei, Torino 1985.
Progetto Nuffield per la matematica, Probabilità e statistica, Zanichelli, Bologna 1971.
ALLEGATI:
Un cenno storico
Significato combinatorio del triangolo di Tartaglia
|
| bolo59 |
Posted - 02 giugno 2010 : 23:08:34
citazione:
Inviato in origine da marylu
E' un matematico.
un matematico polacco vero???? |
| marylu |
Posted - 02 giugno 2010 : 22:33:30
E' un matematico. |
| bolo59 |
Posted - 02 giugno 2010 : 22:17:16
scusa la mia ignoranza, ma chi è questo ulam!!!! |
|
|
